拉格朗日余项公式的推导
我们有拉格朗日中值定理，如下\[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a},\;\; c\in(a, b)\]
即函数上一定存在一个当 \(x= c\)时的瞬时变化率，可以刚好等于函数平均变化率的点推广在参数方城下得到柯西中值定理，即\[\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)} =\frac{g(b) - g(a)}{h(b)-h(a)}\]
重新观察余项\[R_k(x) =\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} +\frac{f^{(k+2)}(a)}{(k+2)!}(x-a)^{k+2} + \cdots +\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]
可以发现 \((x-a)^{k+1}\)为余项通项，可以提出。为了简单计算，我们定义函数 \(S_k(x)\) 如下\[S_k(x) = (x-a)^{k+1}\]
计算提取后的结果后还是很复杂，发现 \(R_k(0) = 0\)，\(S_k(0) = 0\)，便进行如下变换\[\frac{R_k(x)}{S_k(x)} =\frac{R_k(x)-0}{S_k(x)-0} = \frac{R_k(x) - R_k(0)}{S_k(x) -S_k(0)}\]
不难发现最后的式子与柯西中值定理神似，同理继续变换\[\frac{R_k(x) - R_k(0)}{S_k(x) - S_k(0)}= \frac{R_k'(\xi_1) - 0}{S'_k(\xi_1) - 0} =\frac{R_k'(\xi_1) - R'_k(0)}{S'_k(\xi_1) - R'_k(0)} =\frac{R''_k(\xi_2)}{S''_k(\xi_2)} = \ldots \]
我们可以发现可以一直变换下去，直到 \(k+1\) 次导 \(S_k(x)\)不可继续再导，便可以得到如下推导\[\frac{R_k(x)}{S_k(x)} =\frac{R'_k(\xi_1)}{S'_k(\xi_1)} =\frac{R''_k(\xi_2)}{S''_k(\xi_2)} = \ldots =\frac{R^{(k+1)}(\xi_{k+1})}{(k+1)!}\]
而我们显然需要将 \(R_k(x)\)的计算脱离 \(R_k(x)\)导数及其本身，要引入原式 \(f(x)\)的计算，所以要将 \(R^{(k+1)}(\xi_{k+1})\) 变化为 \(f(x)\) 的形式，可以先得到如下结论\[P(x) =\sum^{k}_{n=0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a) + \frac{f(a)}{1!}\cdot(x-a)+\frac{f'(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots+ \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\[0.3em] f(x) = P(x) + R_k(x)\Leftrightarrow R_k(x) = f(x) - P(x) \\[0.8em] R^{(k+1)}(\xi_{k+1}) =f^{k+1}(\xi_{k+1})\]
所以最后我们可以整理得到，拉格朗日余项\[R_k(x) =\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}\]
一般的，我们无法确切的知道 \(\xi\)的具体位置，所以只能估计拉格朗日余项的最大值 \(f^{(k+1)}(x) \leq \max|f^{(k+1)}(\xi)|\)